На примере линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающих одномерных динамические процессы, показано, что решения этих уравнений и систем связаны с решением соответствующих числовых рекуррентных соотношений и не требуется вычисление корней соответствующих характеристических уравнений. При этом произвольные функции, входящие в общее решение однородных уравнений, определяются из начально-краевых условий или выбираются из различных классов аналитических функций. Решения неоднородных уравнений строятся в виде интегродифференциального ряда, действующего на правую часть уравнения, а коэффициенты ряда определяются из тех же рекуррентных соотношений. Сходимость формальных решений в виде рядов рекуррентно-операторной конструкции более общего вида доказана в [1]. В частном случае, когда решения уравнений представляются в виде разделенных переменных, степенные ряды сворачиваются, т.е. выражаются через элементарные функции и совпадают с известными решениями. В этом случае при определении частот собственных колебаний вместо трансцендентных уравнений получаются алгебраические уравнения, что позволяет, не прибегая к графическому методу, точно определить мнимые и комплексные корни этих уравнений [2 стр. 448-449]. Справедливость приведенных формул (формул дифференцирования, явных выражений для коэффициентов ряда и других) проверяется непосредственно соответствующими подстановками, поэтому доказательство их не приводится.
