Поставлена задача о самовозбуждении упругих волновых крутильных колебаний вращающейся бурильной колонны в результате фрикционного взаимодействия ее долота со скальной породой на дне глубокой скважины. С использованием решения Даламбера волнового уравнения построена математическая модель волнового торсионного маятника в форме нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. Установлено, что существует диапазон изменения угловой скорости вращения колонны, в котором наряду с неустойчивым стационарным решением, характеризуемым отсутствием колебаний, имеются колебательные решения в форме устойчивого предельного цикла (аттрактора). Самовозбуждение этих колебаний является мягким, а сами автоколебания принадлежат классу релаксационных, поскольку их период может быть разделен на несколько разграниченных отрезков, соответствующих медленным и быстрым изменениям состояний системы. Скорости упругих движений долота на каждом из этих временных отрезков остаются постоянными, а продолжительности каждого из них одинаковы и равны промежутку времени (кванту) прохождения волной кручения расстояния от долота до верха колонны и обратно.
