В работе получены и решены уравнения, описывающие колебания свободных ветвей лент в различных лентопротяжных механизмах и прямолинейных участках гибких трубопроводов. Отмечены особенности установления колебаний в свободной системе. Получены формулы для частоты и амплитуды первого тона свободных колебаний в свободной системе.