Решена задача о брахистохроне при действии сухого и вязкого линейного трения. С этой целью она представлена как задача о выборе оптимальной по быстродействию нормальной составляющей (управление) реакции опорной кривой, форма которой подлежит определению. Применен метод Охоцимского–Понтрягина исследования дифференциала функционала. Найдены необходимые условия оптимальности, которые при отсутствии трения дают решение классической задачи о брахистохроне, а при наличии трения – соответствующие оптимальные кривые. Аналитически найдены параметрические формулы для брахистохрон при действии сухого и вязкого трения. Исследованы их свойства. Установлены области достижимости. Для некоторых значений коэффициентов трения представлены результаты расчетов, показывающие форму найденных брахистохрон и оптимальное время движения.
