Найдены условия экстремальности в задаче о брахистохроне абсолютно твердого тела, без трения скользящего по искомой опорной кривой в вертикальной плоскости и отслеживающего направление касательной к траектории. В соответствии с принципом освобождения от связи момент, создаваемый реакциями опоры, принимается в качестве управления. Для безразмерных уравнений движения в форме Аппеля с единственным коэффициентом подобия ставится стандартная задача о быстродействии перехода от заданной начальной точки с нулевой начальной скоростью к заданной конечной точке. Применен метод Охоцимского–Понтрягина исследования дифференциала функционала. Найдены необходимые условия оптимальности, из которых получена формула для оптимального управления, не содержащая сопряженных переменных. Аналитически исследованы свойства оптимальных траекторий как в общем случае, так и для предельных, равных нулю или бесконечности значений коэффициента подобия. Установлено, что брахистохроны в форме циклоид возникают как результат предельного перехода к бесконечно большому коэффициенту подобия. Для некоторых значений коэффициента подобия представлены результаты расчетов, показывающие форму найденных брахистохрон и оптимальное время движения. Выполнено сравнение полученных результатов с решением классической задачи о брахистохроне.
