Найдено двухпараметрическое семейство оптимальных кривых в задаче о брахистохроне при действии сухого трения. Задача представлена в форме стандартной задачи оптимального управления по быстродействию. В качестве управления принята нормальная составляющая реакции опоры. Оказалось, что формула для оптимального управления, не содержащая сопряженных переменных, имеет особенность при нулевой скорости движения. Выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений, для которой решение задачи Коши с начальными условиями позволяет получить оптимальные траектории, имеющие вертикальную касательную в начальной точке. Доказано свойство автомодельности таких траекторий. Показано, как с помощью этого свойства из множества оптимальных траекторий с фиксированными начальными условиями и различными конечными углами наклона касательной можно масштабированием получить все оптимальные траектории.
