Запропоновано підхід до знаходження періодичних розв'язків нелінійного диференціального рівняння другого порядку із запізненням. Відомо числово-аналітичний метод знаходження періодичних розв'язків для звичайних рівнянь другого порядку, що узагальнюється для рівнянь із запізненням, у якому рівняння зводиться до системи першого порядку. У пропонованому методі досліджено саме рівняння без зведення його до системи. Побудовано функцію Гріна для самоспряженого диференціального оператора другої похідної, що визначений на функціях, які задовольняють періодичні крайові умови. Наведено необхідні і достатні умови існування періодичних розв'язків рівняння. Отримано оцінку швидкості збіжності наближених обчислень.
