варіаційне числення, вариационное исчисление ; оцінки функціоналів, оценки функционалов
We investigate the estimation problems of linear functionals from solutions to systems of variational equations in Hilbert spaces with unknown right-hand sides. The unknown right-hand sides and the unknown correlation operator of estimation error are supposed to belong to the certain sets. It is shown that the linear mean square estimates of the above-mentioned functionals and estimation errors are expressed via solutions to the systems of variational equations of the special type. We elaborate the numerical algorithms for finding such estimates. The obtained results are applied to the case when the system of variational equations is a stationary heat equation with right-hand side satisfying to the linearized Navier-Stokes equation.
У статтi дослiджуються задачi оцiнювання розв"язкiв варiацiйних рiвнянь в спецiальних гiльбертових просторах з невiдомими правими частинами та похибками спостережень. Припускається, що в правi частини таких рiвнянь входять вектори, якi в свою чергу, є розв"язками варiацiйних рiвнянь також iз невiдомими правими частинами. При умовi, що невiдомi вектори належать правим частинам вивчаються спочатку питання про оцiнки лiнiйних неперервних функцiоналiв вiд розв'язкiв та правих частин таких рiвнянь. Вводяться гарантованi середньоквадратичнi лiнiйнi оцiнки та гарантованi середньоквадратичнi похибки таких оцiнок. Показано, що такi оцiнки та похибки оцiнювання виражаються через розв"язки систем варiацiйних рiвнянь. Показано також, що гарантованi оцiнки лiнiйних функцiоналiв дають змогу знайти гарантованi оцiнки розв"язкiвварiацiйних рiвнянь при спостереженнях з похибками. Для наближеного знаходження гарантованих оцiнок приводиться система лiнiйних алгебраїчних рiвнянь, через яку виражають такi оцiнки. Доводиться, що наближенi оцiнки збiгаються до гарантованих. Одержанi результати застосовуються у випадку, коли варiацiйне рiвняння породжене крайовою задачею для стацiонарнарного рiвняння переносу з дифузiєю з правою частиною, що є розв"язком лiнеаризованого стацiонарного рiвняння Нав"є-Стокса в умовах невизначеностi.
