диференціальні рівняння, дифференциальные уравнения, differential equations ; метод функцій Ляпунова, метод функций Ляпунова
One of the main requirements for the mathematical models of dynamic systems, stability is studied trajectories. At the same time, the establishment only one fact of stability often happens insufficiently. So for linear time-invariant systems with all upper triangular matrix eigenvalues are the diagonal elements and asymptotic stability depends on them. But for large off-diagonal elements there are "strong emissions" solutions and can move away from its equilibrium position is strong enough. Thus, at research of systems is important not so much the finding of stability, how to obtain quantitative estimates of the behavior of solutions, in particular, to obtain estimates of convergence solutions to the equilibrium position. In the article linear stationary systems are considered. Evaluation of convergence of decisions to zero position of balance is received with use of a method of square-law functions of Lyapunov, symmetric positively certain which matrix is received at the decision of the matrix equation of Lyapunov. Systems with square-law nonlinearity of a general view are considered. In the assumption of asymptotic stability of a matrix of a linear part the assessment of area of stability and convergence of decisions with initial data from this area is received. Finally, we consider linear systems are asymptotically stable linear part and a uniform nonlinearity general form. As for systems with quadratic right-hand side, estimate of the area of stability and convergence solutions with initial data from this area.
Одним из основных требований, предъявляемых к математическим моделям динамических систем, является устойчивость исследуемых траекторий движения. В то же время установление лишь одного факта устойчивости часто бывает недостаточно. Так для линейных стационарных систем с верхнетреугольной матрицей все собственные числа равны диагональным элементам и асимптотическая устойчивость зависит только от них. Но при больших внедиагональных элементах имеют место "сильные выбросы" и решения могут уходить от положения равновесия достаточно сильно. Таким образом, при исследовании систем важным является не столько установление факта устойчивости, сколько получение количественных оценок поведения решений, в частности, получение оценок сходимости решений к положению равновесия. В статье рассмотрены линейные стационарные системы. Оценка сходимости решений к нулевому положению равновесия получена с использованием метода квадратичных функций Ляпунова, симметричная положительно определенная матрица которых получена при решении матричного уравнения Ляпунова. Рассмотрены системы с квадратичной нелинейностью общего вида. В предположении асимптотической устойчивости матрицы линейной части получена оценка области устойчивости и сходимости решений с начальными данными из этой области. Наконец, рассмотрены линейные системы с асимптотически устойчивой линейной частью и однородной нелинейностью общего вида. Как и для систем с квадратичной правой частью, получена оценка области устойчивости и сходимости решений с начальными данными из этой области.
