Опис документа

We consider the reconstruction of an interior curve from the given Cauchy data of a harmonic function on the exterior boundary of the planar domain. With the help of Green's function and potential theory the nonlinear boundary reconstruction problem is reduced to the system of non-linear boundary integral equations. The three iterative algorithms are developed for its numerical solution. We find the Frechet derivatives for the corresponding operators and show unique solviability of the linearized systems. Full discretization of the systems is realized by a trigonometric quadrature method. Due to the inherited ill-possedness in the obtained system of linear equations we apply the Tikhonov regularization.

The numerical results show that the proposed methods give a good ac-curacy of reconstructions with an economical computational cost.

Розглядається задача реконструкції внутрішньої кривої за заданими даними Коші гармонійної функції на зовнішній кривій плоскої області. За допомогою функції Гріна і теорії потенціалу нелінійна обернена задача редукована до системи нелінійних граничних інтегральних рівнянь. Розроблено три ітераційні алгоритми для її чисельного розв'язування. Знайдено похідні Фреше відповідних операторів і показано єдиність розв'язку лінеаризованих систем. Повна дискретизація здійснена методом тригонометричних квадратур. Через некоректність вихідної задачі до отриманих систем лінійних рівнянь застосовано регуляризацію Тіхонова. Чисельні результати показують, що пропоновані методи дають достатньо добру точність реконструкції при економних обчислювальних затратах.