лінійні рівняння, линейные уравления ; математичний аналіз, математический анализ, mathematical analysis ; рівняння Лапласа, уравнения Лапласа
We consider boundary value problem for Laplace equation in bounded two-dimensional Lipschitz domain with thin inclusion. Transmission boundary condition upon it consists of the jump of normal derivative and the meaning of boundary value of seeking function. We prove the equivalence of initial boundary value problem and connected variational problem. As a result we obtain existence and uniqueness of solution of the posed problem in appropriate functional spaces. Based on the integral representation formula the considered boundary value problem is reduced to the system of boundary integral equations. We construct the algorithm of numerical solution of obtained system by collocation method. Our approach is illustrated by some numerical examples.
The numerical results show that the proposed methods give a good accuracy of reconstructions with an economical computational cost.
Розглянуто задачу для рівняння Лапласа в обмеженій двовимірній Ліпшицевій області з тонким включенням, на якому задана трансмісійна гранична умова, тобто умова, що містить як стрибок нормальної похідної, так і граничне значення шуканої функції. Доведено еквівалентність задачі у диференціальному формулюванні та відповідної варіаційної задачі. Досліджено питання існування та єдиності розв'язку поставленої задачі у відповідних функціональних просторах. На основі інтегрального подання розв'язку вихідна диференціальна задача зведена до системи граничних інтегральних рівнянь. Побудовано алгоритм чисельного роз-в'язування отриманої системи інтегральних рівнянь методом колокації. Представлено чисельні результати наближеного розв'язуваня деяких конкретних граничних задач.
