Запропоновано модифікація закону додавання точокна кривій Едвардса над простим полем. Вона забезпе-чує традиційну горизонтальну симетрію оберненихточок еліптичної кривої. Доведено 2 теореми о влас-тивостях координат точок великих порядків, які поро-джені операцією ділення точці на 2, протилежноїздвоєнню точці. На цієї основі можна знаходить по-рядки точок без групових операцій лише двома опе-раціями у полі. Доведено теорема 3 о виродженої парікривих кручення при p ? 3mod 4 и p ? ?3mod8 з па-раметрами d ? 2 и 1 d 2? ? ? і порядком 1 E N ? p ? .Доведено твердження 1 про не існування точок ділен-ня на 2 для точок максимального порядку 4n и точок4-го порядку. Доведено твердження 2, що при4 E N ? nсеред 8 точок сімейства точок, які лежать наодному колі. 2 точці мають порядок n , 2 точці – по-рядок 2n и 4 точці – максимальний порядок 4n . За-пропоновано алгоритм реконструкції без обчисленьусіх невідомих точок kP кривої Едвардса, якщо лише1/8 частина точок відома.
Предложена модификация закона сложения точек на кривой Эдвардса над простым полем. Она обеспечивает тради-ционную горизонтальную симметрию обратных точек эллиптической кривой. Доказаны 2 теоремы о свойствах ко-ординат точек больших порядков, порожденных операцией деления точки на 2, обратной удвоению точки. На их ос-нове можно находить порядки точек без групповых операций лишь двумя операциями в поле. Доказана теорема 3 овырожденной паре кривых кручения при p ? 3mod 4 и p ? ?3mod8 с параметрамиd ? 2 и 1 d 2? ? ? и порядком1 E N ? p ? . Доказано утверждение 1 о несуществовании точек деления на 2 для точек максимального порядка 4n иточек 4-го порядка. Доказано утверждение 2, что при 4 E N ? n среди 8 точек семейства точек, лежащих на однойокружности, 2 точки имеют порядок n , 2 точки – порядок 2n и 4 точки – максимальный порядок 4n . Предложеналгоритм реконструкции без вычислений всех неизвестных точек kP кривой Эдвардса лишь при 1/8 части извест-ных точек.
Modification of the addition law of an Edwards curvepoints over a prime field is offered. It ensures traditionalhorizontal symmetry of inverse points of an elliptic curve.2 theorems of properties of points co-ordinates of the bigorder points are proved. These properties generated bypoint halving, inverse of point doubling. On their basis itis possible to calculate of points order with only two operationsin the field without group operations. The theorem3 about degenerate pair of twisted curves with orderNE ? p ?1 is proved, if p ? 3mod 4and p ? ?3mod8 ,d ? 2 or 1 d 2? ? ? . The statement 1 about a non-existenceof point halving for points of a maximum order andpoints of 4th order is proved. The statement 2 is provedthat at among 8 points of a set of the points lying on onecircle, 2 points have an order n , 2 points - an order 2nand 4 points - a maximum order 4n . The algorithm ofreconstruction without evaluations of all unknown pointskP of a of Edwards curve is offered, if only at 1/8 partsof points is known.
